Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$y + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$