Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{5 y^{2}}{x}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (5 y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (5 y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (5)}{x}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{5}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = 5 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique $5 \ln (| x |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os fatores em $\ln ({| x |}^{5}) y + C y$ .

$- 1 = y \ln ({| x |}^{5}) + C y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $y \ln ({| x |}^{5}) + C y = - 1$ .

$y \ln ({| x |}^{5}) + C y = - 1$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $y \ln ({| x |}^{5}) + C y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $C y$ .

$y \ln ({| x |}^{5}) + y C = - 1$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $y \ln ({| x |}^{5}) + y C$ .

$y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$ por $\ln ({| x |}^{5}) + C$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$ por $\ln ({| x |}^{5}) + C$ .

$\frac{y (\ln ({| x |}^{5}) + C)}{\ln ({| x |}^{5}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln ({| x |}^{5}) + C$ .

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Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln ({| x |}^{5}) + C)}{\ln ({| x |}^{5}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$