Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 3 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 3 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 3 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Etapa 2.4

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Mova $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Etapa 2.4.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Etapa 2.6

Reordene os fatores em $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 6.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 6.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 6.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 6.8

Simplifique.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 6.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 3 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 x}$ e $e^{- 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{- 3 x}$ de $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $- \frac{1}{4} e^{x}$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$