Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} (y - 21)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y - 21}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 21} (- \frac{1}{49} (y - 21))$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{y - 21} (y - 21)$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{1}{y - 21}$ por $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y - 21$ .

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Etapa 1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(y - 21) \cdot 49}$ para o numerador.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $y - 21$ de $(y - 21) \cdot 49$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) (49)} (y - 21)$

Etapa 1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Etapa 1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{49}$

Etapa 1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y - 21} d y = - \frac{1}{49} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 21} d y = \int - \frac{1}{49} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 21$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 21$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 21$ .

$\frac{d}{d y} [y - 21]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 21$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 21$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 21$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{49} d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 21$ .

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = - \frac{1}{49} t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - 21 |)} = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{49} t + C} = | y - 21 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $t$ e $\frac{1}{49}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{t}{49} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - 21 = \pm e^{- \frac{t}{49} + C}$

Etapa 3.3.4

Some $21$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{- \frac{t}{49} + C} + 21$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{t}{49} + C}$ como $e^{- \frac{t}{49}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t}{49}} e^{C} + 21$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{t}{49}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t}{49}} + 21$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{t}{49}} + 21$