Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ por $x^{2} + 2 x - 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ por $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.1.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.3.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.5

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Divida $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6.1.2

Divida $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.1.6.4.2

Divida $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Etapa 2.3.1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.1.6.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 2.3.1.1.6.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Etapa 2.3.1.1.7

Mova $3 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Etapa 2.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 2.3.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 2.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Etapa 2.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 3 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1

Simplifique $3 (1 - B) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 3 B$ .

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3

Resolva $B$ em $5 = 3 - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.1

Reescreva a equação como $3 - 4 B = 5$ .

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3

Divida cada termo em $- 4 B = 2$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 4 B = 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.1

Multiplique $- (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.4

Some $2$ e $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Etapa 2.3.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $x + 3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Etapa 2.3.8

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.3.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.8.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$