Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\arctan (x) + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y + 1 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\arctan (x) + C}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\arctan (x) + C} - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\arctan (x) + C}$ como $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C} - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\arctan (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)} - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\arctan (x)} - 1$