Cálculo Exemplos

$(y - x) d x + 4 x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.4

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Etapa 1.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 4 x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 4$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = 4$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - 4}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $4 x$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $4 x$ por $N$ .

$\frac{1 - 4}{4 x}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4 x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{4 x} d x}$

Etapa 5.2

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{3}{4} \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $\frac{3}{4}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \ln (| x |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{3}{4} \ln (| x |)$ movendo $\frac{3}{4}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{4} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.5.4.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} + C$

Etapa 5.5.4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{4}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{4}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{4}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y - x) d x + 4 x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y - x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$(y - x) \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y - x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $4 x$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Etapa 6.4.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Combine $x$ e $\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $x^{\frac{3}{4}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \cdot 4 x^{- \frac{3}{4}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Mova $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $x^{- \frac{3}{4}}$ por $x$ .

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Etapa 6.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x^{1} \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + 1} \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{- 3 + 4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.6.5

Some $- 3$ e $4$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Etapa 6.7

Mova $4$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x^{\frac{1}{4}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{\frac{1}{4}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{1}{4}} y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 y (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.8

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 y \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.9

Combine $4$ e $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$y \frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $y$ e $\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{y (4 x^{- \frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.11

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.12

Mova $x^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.13

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.3.14

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} - \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (y - x)}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y - - x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 12.1.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + 1 x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Some $0$ e $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Mova $x^{\frac{3}{4}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} + x \cdot x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{1} x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + x^{1 - \frac{3}{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4 - 3}{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{1}{4}} = 0$

Etapa 12.1.2

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{4}}$ que esteja presente em cada termo.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 12.1.3

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{4}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + u = 0$

Etapa 12.1.4

Resolva $u$ .

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Etapa 12.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 12.1.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Etapa 12.1.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 12.1.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Etapa 12.1.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} + u = 0$

Etapa 12.1.4.1.2

Simplifique.

$\frac{d g}{d x} + u = 0$

Etapa 12.1.4.2

Subtraia $\frac{d g}{d x}$ dos dois lados da equação.

$u = - \frac{d g}{d x}$

Etapa 12.1.5

Substitua $\frac{d g}{d x}$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - \frac{d g}{d x}$

Etapa 12.1.6

Subtraia $x^{\frac{1}{4}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- x^{\frac{1}{4}}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$g (x) = - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$

Etapa 13.5

Reescreva $- (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$ como $- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

$g (x) = - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $x^{\frac{5}{4}}$ e $\frac{4}{5}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{x^{\frac{5}{4}} \cdot 4}{5} + C$

Etapa 15.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{\frac{5}{4}}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{4}} - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$