Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{y - 5}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{x + 5}{y - 5}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{x + 5}{y - 5}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y - 5) d y = (x + 5) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y - 5 d y = \int x + 5 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int x + 5 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int x + 5 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int x + 5 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int x + 5 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int x d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int 5 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + K$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{x^{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{x^{2}}{2} = 5 x + K$

Etapa 3.3.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{x^{2}}{2} - 5 x = K$

Etapa 3.3.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{x^{2}}{2} - 5 x - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} - 10 y - x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y - x^{2} - 10 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y - x^{2} - 10 x - 2 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $- 10 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 10 x - 2 K - 10 y = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $- 10 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 10 x - 10 y = 0$

Etapa 3.4.5

Reordene $y^{2}$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 10 x - 10 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = - x^{2} - 2 K - 10 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 10 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K - 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.7.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (- 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.3

Multiplique $- 10$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 x^{2} + 8 K + 40 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Fatore $4$ de $100 + 4 x^{2} + 8 K + 40 x$ .

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Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $4$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 25 + 4 x^{2} + 8 K + 40 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.2

Fatore $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 25 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 40 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.3

Fatore $4$ de $40 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 25 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.4

Fatore $4$ de $4 \cdot 25 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot (25 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.5

Fatore $4$ de $4 \cdot (25 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot (25 + x^{2} + 2 K) + 4 (10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.6

Fatore $4$ de $4 \cdot (25 + x^{2} + 2 K) + 4 (10 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + x^{2} + 2 K + 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $4 (25 + x^{2} + 2 K + 10 x)$ como $2^{2} (5^{2} + x^{2} + 2 K + 10 x)$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + x^{2} + 2 K + 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + x^{2} + 2 K + 10 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + x^{2} + 2 K + 10 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 5 + \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + x^{2} + 2 K + 10 x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 5 + \sqrt{25 + x^{2} + K + 10 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + x^{2} + K + 10 x}$