Cálculo Exemplos

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x^{4} - y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Como $x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

Etapa 2.9

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Multiplique $x^{4} - y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Some $1$ e $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

Etapa 3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $x^{4} + y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

Etapa 3.8.2

Some $4 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $x^{4} - 3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5 x^{4} + y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $x^{4} - 3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $5 x^{4} + y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x (x^{4} + y^{2})$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x (x^{4} + y^{2})$ por $N$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Deixe $u = y^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{4} - 4 u$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{4}$ .

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.3

Fatore $4$ de $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ .

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $- x^{4} - y^{2}$ e $x^{4} + y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - (y^{2})$ .

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva $- (x^{4} + y^{2})$ como $- 1 (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{x}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y (x^{4} - y^{2})$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova $y^{2}$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 7.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4.3

Some $2$ e $1$ .

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $y x^{4} - y^{3}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.1

Fatore $y$ de $y x^{4} - y^{3}$ .

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Etapa 7.6.1.1

Fatore $y$ de $y x^{4}$ .

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6.1.2

Fatore $y$ de $- y^{3}$ .

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6.1.3

Fatore $y$ de $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ .

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = y$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x (x^{4} + y^{2})$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.8.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $x^{4} + y^{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{1}{x^{3}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

Etapa 9.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

Etapa 9.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 9.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

Etapa 9.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ .

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Etapa 12.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ e $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{4} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.6

Como $\frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.10

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11

Some $4 y x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.12

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.13

Combine $y$ e $\frac{4}{x^{3}}$ .

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.14

Combine $\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.15

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.16

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.16.2

Divida $4 y$ por $1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.17

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.17.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.17.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.18

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.19

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.19.1

Mova $x^{2}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.3.19.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3

Combine os termos.

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Etapa 12.5.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.3

Combine $x^{4}$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.4

Combine $y$ e $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ .

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.7

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 12.5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.7.2

Divida $3 y$ por $1$ .

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.9

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.11

Multiplique $\frac{y^{3}}{3}$ por $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.12

Mova $3$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.5.3.13.1

Cancele o fator comum.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.13.2

Reescreva a expressão.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3.14

Subtraia $3 y$ de $4 y$ .

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 12.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Subtraia $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.3

Expanda $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.3

Multiplique $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.3.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.5

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.5.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.5.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.4.1.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.1.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.2

Subtraia $y^{2} x^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.3.4.3

Some $- y x^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.4

Combine os termos opostos em $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Some $- y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.4.2

Some $- y x^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.5.2

Divida $- y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

Etapa 13.1.6

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d x} + y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

Etapa 13.1.6.2

Some $\frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

Etapa 16.2

Multiplique $\frac{1}{x^{3}}$ por $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Fatore $y$ de $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1.1

Fatore $y$ de $x^{4} y$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.1.2

Fatore $y$ de $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.1.3

Fatore $y$ de $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.2

Para escrever $x^{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.3

Combine $x^{4}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.4

Combine $y$ e $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

Etapa 16.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Etapa 16.6

Combine.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

Etapa 16.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$