Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1 + x}{1 + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por ${(1 + y)}^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de ${(1 + y)}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva a expressão.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

Etapa 1.3.3

Expanda $(1 + x) (1 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

Etapa 1.3.4.2

Some $x$ e $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(1 + y)}^{3}$ .

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

Etapa 3.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$