Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 3.4

Combine $x$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Etapa 3.5.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Etapa 7

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{2} y = - \cos (x) + C$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{2} y = - \cos (x) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $2$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Avalie $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Etapa 10.2.1.3

Divida $0.99939082$ por $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Etapa 10.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Etapa 10.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Etapa 10.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.3.1

Some $0.2498477$ aos dois lados da equação.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Etapa 10.3.2

Some $1$ e $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Etapa 10.4

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Etapa 10.5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 10.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.5.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Etapa 10.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Etapa 10.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.5.2.1

Multiplique $4$ por $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Etapa 11

Substitua $4.99939082$ por $C$ em $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $4.99939082$ por $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$