Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (| x |)$ e $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$