Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{3}$ , $y (0) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 3 x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{3} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{4} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = \frac{3}{4} x^{4} + K$ .

$8 = \frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K = 8$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0 + K = 8$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $0$ .

$0 + K = 8$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 8$

Etapa 5

Substitua $8$ por $K$ em $y = \frac{3}{4} x^{4} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $8$ por $K$ .

$y = \frac{3}{4} x^{4} + 8$

Etapa 5.2

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{4} + 8$