Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2.3.3

Como $24$ é constante com relação a $x$ , mova $24$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Etapa 2.3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.8.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.1.2

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

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Etapa 2.3.8.1.2.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.8.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.1.2.2.4

Divida $- 12$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 2.3.8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.8.2.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.8.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.8.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.8.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.10.1.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.10.2

Simplifique.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3.2

Combine $12$ e $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3.3

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 2.3.10.3.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.10.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$