Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y + y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $y + y e^{y^{2}}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $y$ de $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $y + y e^{y^{2}}$ por $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.3

Fatore $y$ de $y + y e^{y^{2}}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.3.3

Fatore $y$ de $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.3.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $1 + e^{y^{2}}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Etapa 1.2.5.2

Divida $1 + x e^{x}$ por $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.3

Deixe $u = y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Deixe $u = y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

Etapa 2.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$