Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Etapa 2.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $4$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{1} + K = 0$

Etapa 4.2.4

Avalie o expoente.

$- \frac{2}{3} \cdot 2 + K = 0$

Etapa 4.2.5

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{2}{3}) + K = 0$

Etapa 4.2.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.5.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3} + K = 0$

Etapa 4.3

Some $\frac{4}{3}$ aos dois lados da equação.

$K = \frac{4}{3}$

Etapa 5

Substitua $\frac{4}{3}$ por $K$ em $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{4}{3}$ por $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{4}{3}$