Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Reescreva $- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$