Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Mova $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Etapa 2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Etapa 2.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Etapa 2.4

Simplifique $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Etapa 2.5

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int x d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.3.1.3

Combine.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$