Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 1$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 1$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \cot (x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cdot 1$

Etapa 3.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Reordene $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\sin (x) (\cot (x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Etapa 3.2.3

Cancele os fatores comuns.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sin (x) y = \int \sin (x) d x$

Etapa 7

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\sin (x) y = - \cos (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ por $\sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$y = \frac{- 1}{1} \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Separe as frações.

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 8.3.1.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Etapa 8.3.1.6

Divida $C$ por $1$ .

$y = - \cot (x) + C \csc (x)$