Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Etapa 2.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 6.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Etapa 9.2

Simplifique $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Etapa 9.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Etapa 9.2.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$- 1 + C = 3$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$C = 3 + 1$

Etapa 9.3.2

Some $3$ e $1$ .

$C = 4$

Etapa 10

Substitua $4$ por $C$ em $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $4$ por $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$