Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Etapa 1.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} t$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $t^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $t^{2} y + K y = - 1$ .

$t^{2} y + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $t^{2} y + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $t^{2} y$ .

$y t^{2} + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y t^{2} + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y t^{2} + y K$ .

$y (t^{2} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (t^{2} + K) = - 1$ por $t^{2} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (t^{2} + K) = - 1$ por $t^{2} + K$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $t$ e $1$ por $y$ em $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ .

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ .

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Etapa 5.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$9 + K, 1$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses.

$9 + K, 1$

Etapa 5.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$9 + K$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{9 + K} = 1$ por $9 + K$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{9 + K} = 1$ por $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $9 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{9 + K}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Multiplique $9 + K$ por $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $9 + K = - 1$ .

$9 + K = - 1$

Etapa 5.5.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$K = - 1 - 9$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $9$ de $- 1$ .

$K = - 10$

Etapa 6

Substitua $- 10$ por $K$ em $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $- 10$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$