Cálculo Exemplos

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 6 y$ em relação a $y$ é $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

Etapa 1.4

Subtraia $6$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 6$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 = 5$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 6 = 5$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 6$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $5$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 - 5}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $5 x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $5 x$ por $N$ .

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5$ de $- 6$ .

$\frac{- 11}{5 x}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{5 x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

Etapa 5.2

Como $\frac{11}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{11}{5}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $\frac{11}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ movendo $\frac{11}{5}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Combine $\frac{11}{5}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

Etapa 5.5.4.2.2

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x - 6 y$ por $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x - 6 y$ por $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $5 x$ por $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Combine $x$ e $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x^{\frac{11}{5}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

Etapa 6.6.5.2

Subtraia $5$ de $11$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $5 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ em relação a $x$ é $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ como ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{5}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.2.1

Combine $\frac{6}{5}$ e $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.5.2.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.9.2

Subtraia $5$ de $6$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{6}{5}$ e $x^{\frac{1}{5}}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.11

Combine $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique $x^{\frac{1}{5}}$ por $x^{- \frac{12}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.12.1

Mova $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.12.4

Some $- 12$ e $1$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.13

Mova $x^{- \frac{11}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.14

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.15

Combine $- 5$ e $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.16

Multiplique $- 5$ por $6$ .

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.17

Combine $y$ e $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.18

Mova $- 30$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.19

Fatore $5$ de $- 30 y$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.20.1

Fatore $5$ de $5 x^{\frac{11}{5}}$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Combine os termos opostos em $- 6 y - x + 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Some $- 6 y$ e $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Multiplique $x^{\frac{11}{5}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.5.2

Subtraia $5$ de $11$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Etapa 13.3

Mova $x^{\frac{6}{5}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

Etapa 13.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

Etapa 13.4.2

Multiplique $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Combine $\frac{6}{5}$ e $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

Etapa 13.4.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

Etapa 13.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{6}{5}}$ com relação a $x$ é $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

Etapa 13.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.6.1

Reescreva $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ como $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ .

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Etapa 13.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Etapa 13.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$