Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + y^{3}}$ .

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + y^{3}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $y$ de $y + y^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

Etapa 2.2.1.1.1.3

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

Etapa 2.2.1.1.1.5

Multiplique $y$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

Etapa 2.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (1 + y^{2})$ .

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6.1.2

Divida $A (1 + y^{2})$ por $1$ .

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.1.6.4.2

Divida $(B y + C) (y)$ por $1$ .

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

Etapa 2.2.1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

Etapa 2.2.1.1.6.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.1.6.6.1

Mova $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

Etapa 2.2.1.1.6.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

Etapa 2.2.1.1.7

Mova $A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

Etapa 2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.2.1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 2.2.1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.2.1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 2.2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 2.2.1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.2.1.3.4

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

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Etapa 2.2.1.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.2.1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Etapa 2.2.1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Etapa 2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.5.2.1

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.5.2.2

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

Etapa 2.2.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.5

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$