Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\sqrt{y}$ de $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Combine.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Combine.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5.2

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.7

Combine.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9

Combine.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.10

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.10.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.10.2

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12

Multiplique $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.1

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.12.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.13

Multiplique $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.13.1

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.14

Combine.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.15

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.16

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.16.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.16.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.17.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $x^{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Some $x^{2} K$ e $K x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Reordene $x^{2}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Some $K x^{2}$ e $K x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.5

Some $x K$ e $K x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1

Reordene $x$ e $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.5.2

Some $K x$ e $K x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.6

Divida a fração $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ em duas frações.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7

Fatore $x$ de $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.3

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.4

Fatore $x$ de $2 K x$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.5

Fatore $x$ de $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.6

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.7

Fatore $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.8

Fatore $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.7.9

Fatore $x$ de $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4

Simplifique $\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4.2

Mova $2 K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4.3

Mova $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ .

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

Etapa 6.2

Simplifique $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ e $0$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Etapa 6.2.2

Some $K \cdot 0$ e $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reordene $0 \cdot K$ e $K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

Etapa 6.2.2.2

Some $K$ e $0 \cdot K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Etapa 6.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $4$ de $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

Etapa 6.2.3.1.2.4

Divida $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ por $1$ .

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Etapa 6.2.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Etapa 6.2.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

Etapa 6.2.3.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

Etapa 6.2.3.3

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.1

Some $0$ e $0$ .

$0 (0 + K) + K = 1$

Etapa 6.2.3.3.2

Some $0$ e $K$ .

$0 K + K = 1$

Etapa 6.2.3.4

Multiplique $0$ por $K$ .

$0 + K = 1$

Etapa 6.2.4

Some $0$ e $K$ .

$K = 1$

Etapa 7

Substitua $1$ por $K$ em $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Etapa 7.2

Some $1 x$ e $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

Etapa 7.3

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.4

Combine $K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.2.1.2

Some $1$ e $3$ .

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

Etapa 7.6.4

Mova $4$ para a esquerda de $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$