Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $t$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Etapa 1.2

Deixe $u_{1} = 2 t$ . Depois, $d u_{1} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.2.1

Deixe $u_{1} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 1.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 1.3

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 1.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 1.5

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Etapa 1.6

Simplifique.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Etapa 1.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.3

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 3.3.3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.4

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.7

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Etapa 3.3.8

Aplique a regra da constante.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Etapa 3.3.9

Simplifique.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Etapa 3.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$