Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{x}{y}$ . Substitua $V$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{x}{y}$ para $x$ .

$x = V y$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $x = V y$ com relação a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Etapa 4

Substitua $y \frac{d V}{d y} + V$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 5.1

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Subtraia $V$ de $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $V$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{V}$ para o numerador.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Etapa 5.1.3.2.2

Fatore $V$ de $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Etapa 5.1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Etapa 5.1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

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Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Etapa 5.2.2

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Etapa 5.2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 5.2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 5.2.3.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

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Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Etapa 5.3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Etapa 5.3.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Etapa 5.3.3

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $\ln (y^{2} | V |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Etapa 5.3.5

Resolva $V$ .

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Etapa 5.3.5.1

Reescreva a equação como $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Etapa 5.3.5.2

Divida cada termo em $y^{2} | V | = e^{C}$ por $y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.5.2.1

Divida cada termo em $y^{2} | V | = e^{C}$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Etapa 5.3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.2

Divida $| V |$ por $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Etapa 5.3.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Etapa 5.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Etapa 5.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $\frac{x}{y}$ por $V$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 7

Resolva $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ para $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Combine $C$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{C}{y}$