Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Etapa 2.3.2

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $3$ por $s$ em $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ .

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\sin (0) + \cos (0) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + \cos (0) + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$1 + K = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 3 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$K = 2$

Etapa 5

Substitua $2$ por $K$ em $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$