Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\ln (x)}{x}$ por $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y^{2} + 1$ de $\ln (x) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y^{2} + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = \ln (x)$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 |)} = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\ln^{2} (x) + 2 C} = | y^{2} + 1 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + C} - 1}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{\ln^{2} (x) + C}$ como $e^{\ln^{2} (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x)} e^{C} - 1}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{\ln^{2} (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{\ln^{2} (x)} - 1}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{\ln^{2} (x)} - 1}$