Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $\frac{2 x}{y}$ dos dois lados da equação.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Some $\frac{1}{y}$ aos dois lados da equação.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{2 x}{y}$ aos dois lados da equação.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{x}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.2

Reordene os fatores de $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Etapa 1.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Etapa 2.3.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$