Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = (t + 1) \sin^{2} (2 t)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t + 1$ e $d v = \sin^{2} (2 t)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Etapa 2.3.5

Como $- \frac{1}{8}$ é constante com relação a $t$ , mova $- \frac{1}{8}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (4 t) d t)$

Etapa 2.3.6

Deixe $u = 4 t$ . Depois, $d u = 4 d t$ , então, $\frac{1}{4} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.6.1

Deixe $u = 4 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.6.1.1

Diferencie $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Etapa 2.3.6.1.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.3.6.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Etapa 2.3.8.2

Combine $\sin (4 t)$ e $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Etapa 2.3.9

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{3})))$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C_{3}))$

Etapa 2.3.10.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Etapa 2.3.10.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Etapa 2.3.10.2

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{t^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{32}) \cos (u)) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.4

Multiplique $\frac{1}{32}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{32} \cos (u)) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.5

Combine $\frac{1}{32}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.6

Para escrever $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.7

Combine $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ e $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.3.9

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (4 t)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

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Etapa 2.3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.12.2.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 (- 2) \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 \cdot - 2 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 2.3.12.3.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 (- 1) \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.3.2

Fatore $8$ de $32$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.3.3

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.12.3.4

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

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Etapa 2.3.13.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (4 t) t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.2

Fatore $- 1$ de $- 2 t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.4

Fatore $- 1$ de $- \frac{\cos (4 t)}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.5

Fatore $- 1$ de $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.6

Reescreva $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ como $- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.8

Reordene os fatores em $- \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.9

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + K$