Cálculo Exemplos

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ por $e^{5 x}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Negative o expoente de $e^{5 x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $e^{- 5 x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = - 5 x$ . Depois, $d u = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = - 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.3.1.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Etapa 2.3.4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$