Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Etapa 1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 7.10

Reescreva $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12.1.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{2 x}}{4}$ para o numerador.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Etapa 7.12.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Etapa 7.12.4.3

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 7.12.4.4

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.6

Para escrever $x e^{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.7

Combine $x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.9.1

Mova $2$ para a esquerda de $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.9.2

Fatore $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.9.2.1

Fatore $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 7.12.9.2.2

Fatore $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Etapa 7.12.9.2.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.4

Reescreva $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.8

Combine $e^{2 x} x$ e $- \frac{e^{2 x}}{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.8.1

Reordene $e^{2 x}$ e $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.8.2

Para escrever $x e^{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.8.3

Combine $x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.9.1

Mova $2$ para a esquerda de $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.9.2

Fatore $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.9.2.1

Fatore $e^{2 x}$ de $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.9.2.2

Fatore $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.9.2.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5.4

Reescreva $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.6

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ por $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$