Cálculo Exemplos

$(2 x^{3} y^{2} - e^{x}) d x + (x^{4} y + 2 y^{3}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2} - e^{x}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{3} y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $- e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y + 2 y^{3}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} y + 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{4} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.4

Como $2 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $4 y x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3}$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $4 y x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4 x^{3} y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x^{3} y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y + 2 y^{3} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{4} y d y + \int 2 y^{3} d y$

Etapa 5.2

Como $x^{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{4}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y + \int 2 y^{3} d y$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 y^{3} d y$

Etapa 5.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 \int y^{3} d y$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Etapa 5.7.2

Combine $\frac{x^{4}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Etapa 5.7.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 \frac{y^{4}}{4} + C$

Etapa 5.7.4

Combine $2$ e $\frac{y^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{4} + C$

Etapa 5.7.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.7.5.1

Fatore $2$ de $2 y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 (y^{4})}{4} + C$

Etapa 5.7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 5.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 5.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{x^{4}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.5

Combine $4$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{4 y^{2}}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 8.3.7.1

Fatore $2$ de $4 y^{2} x^{3}$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.3.7.2.4

Divida $2 y^{2} x^{3}$ por $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.4

Como $\frac{1}{2} y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $2 y^{2} x^{3}$ e $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $2 x^{3} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $2 x^{3} y^{2}$ de $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Etapa 10.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique.

$g (x) = - e^{x} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{x^{4}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} - e^{x} + C$