Cálculo Exemplos

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 2.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Etapa 3.4.2

Some $12 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $12 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x = 12 x$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $12 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $2 x y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $2 x y$ por $M$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x$ de $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $x$ de $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $2$ de $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{2 y}$

Etapa 5.3.4

Substitua $2 x y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $5 \ln (| y |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Etapa 6.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ pelo fator de integração $y^{5}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2 x y$ por $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $y$ por $y^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Multiplique $y^{5}$ por $y$ .

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Some $5$ e $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $6 x^{2} + y^{3}$ por $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $y^{3}$ por $y^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Etapa 7.5.2

Some $3$ e $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = 2 x y^{6}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $2 y^{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y^{6}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2.2

Combine $y^{6}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2.4

Multiplique $2$ por $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.3.2.5.2

Divida $y^{6}$ por $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{6} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{6} x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.3.3

Mova $6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $6 y^{5} x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

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Etapa 13.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $6 x^{2} y^{5}$ e $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Etapa 13.1.2.2

Subtraia $6 y^{5} x^{2}$ de $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Etapa 13.1.2.3

Some $y^{8}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $y^{8}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Etapa 14.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{8}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{9}$ e $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$