Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

Etapa 1.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

Etapa 1.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

Etapa 1.2.3.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{x + C}$ .

$| y | = e^{x + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{x}$