Cálculo Exemplos

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1 + x$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| 1 + x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| 1 + x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Simplifique $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

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Etapa 5.5.4.1.1

Reescreva ${(1 + x)}^{2}$ como $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Etapa 5.5.4.1.2

Expanda $(1 + x) (1 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Etapa 5.5.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Etapa 5.5.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Etapa 5.5.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.5.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.4.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Etapa 5.5.4.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Etapa 5.5.4.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Etapa 5.5.4.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Etapa 5.5.4.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Etapa 5.5.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.4.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.4.1.5.1

Multiplique $e^{C}$ por $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.4.1.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Etapa 5.5.4.1.6

Reordene os fatores em $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Etapa 5.5.4.1.7

Mova $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Etapa 5.5.4.1.8

Reordene $2 x e^{C}$ e $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$