Cálculo Exemplos

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Multiplique $2 x - y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 2 y = - 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x - 2 y = - 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y (2 x - y)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y (2 x - y)$ por $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $- 4 x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $- 2 x + y$ e $2 x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3.4

Reescreva $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Etapa 4.3.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $y (2 x - y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y (2 x - y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2 x - y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- x^{2} - y^{2} - 1$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.12

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.13

Reescreva $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Etapa 8.4

Como $\frac{2}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Etapa 8.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Etapa 8.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Etapa 8.8

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Etapa 8.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Etapa 8.9.2

Multiplique $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Etapa 8.9.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Etapa 8.9.3.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{y}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2.2

Some $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $0$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Para escrever $\frac{d g}{d y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 12.1.3

Resolva a equação para $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Etapa 12.1.3.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Etapa 12.1.3.2

Divida cada termo em $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ por $y^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.1

Divida cada termo em $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ por $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 12.1.3.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.4

Aplique a regra da constante.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 13.6

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 13.7

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 13.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Etapa 13.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Etapa 13.9

Simplifique.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Etapa 13.10

Simplifique.

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Etapa 13.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Etapa 13.10.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$