Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 y + x$

Etapa 1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 4$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 4 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 4 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 4 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.3

Como $- \frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.5

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 7.6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 7.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 7.8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Etapa 7.9

Simplifique.

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Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Etapa 7.9.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Etapa 7.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Etapa 7.11

Simplifique.

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Etapa 7.11.1

Reescreva $- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Etapa 7.11.2

Simplifique.

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Etapa 7.11.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Etapa 7.11.2.2

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Etapa 7.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.13

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

Etapa 7.14

Reordene os termos.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Etapa 8.1.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Etapa 8.1.3

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ por $e^{- 4 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ por $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ por $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 8.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.5

Multiplique $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ por $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.6

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 8.2.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$