Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y + 1$

Etapa 1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x + 1$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.5

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.6

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{2 x} d x$

Etapa 7.10

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.10.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.11

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 7.12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.13

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 7.14

Simplifique.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $\frac{e^{2 x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.4.1

Multiplique $\frac{e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.6

Some $- e^{2 x}$ e $e^{2 x} \cdot 2$ .

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Etapa 8.3.6.1

Reordene $e^{2 x}$ e $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + 2 \cdot e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.6.2

Some $- e^{2 x}$ e $2 \cdot e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.7.1

Para escrever $\frac{x e^{2 x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.7.2.1

Multiplique $\frac{x e^{2 x}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.7.4.1

Fatore $e^{2 x}$ de $x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.7.4.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $x e^{2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.4.1.2

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.4.1.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2 + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.5

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.6

Combine $C$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.7.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.8.3

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7.8.4

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ por $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

Etapa 8.3.10

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$