Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $2 (- x^{- 1} + C_{2})$ como $2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{2}{x} + C}$ como $e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{2}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{2}{x}}$