Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Etapa 1.1.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Etapa 1.1.3

Resolva a equação para $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Remova os parênteses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $y^{2} - 2$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Etapa 1.1.3.2

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ por $x^{2} \cdot 2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ por $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Etapa 1.1.3.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{y}{2 x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{x^{2} y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 y x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{y}{2 x^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2} y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os fatores de $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $2 y$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2 y$ de $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y^{2} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = y^{2} - 2$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = y^{2} - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$