Cálculo Exemplos

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

Etapa 1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.4.1

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

Etapa 1.4.2

Como $\frac{1}{x^{2}}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x^{2}}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.4.4

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Some $0$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y - x^{- 1}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{- 1}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $0$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = y - x^{- 1}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

Etapa 5.4

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{- 1} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.5.2

Combine os termos.

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Etapa 8.5.2.1

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.5.2.2

Some $0$ e $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 8.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 9.1.1.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $\frac{y}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os termos opostos em $2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ .

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Etapa 9.1.2.2.1

Subtraia $\frac{y}{x^{2}}$ de $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

Etapa 9.1.2.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 d x$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 2 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

Etapa 12.3

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$