Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x y + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

Etapa 1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

Etapa 1.1.4

Fatore $x$ de $x (y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $x^{2} y + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

Etapa 1.2.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

Etapa 1.2.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

Etapa 1.2.4

Fatore $y$ de $y x^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x}{x^{2} + 1}$ por $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $y$ de $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida $y$ por $y + 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.5

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$