Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Divida a fração $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Etapa 1.2

Presuma que $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Combine $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e $\sqrt{x^{2}}$ em um único radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.4

Divida $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 1.4.1

Divida a fração $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.5

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $0$ e $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Deixe $V = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d V = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.2.2.1

Simplifique $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Reorganize os termos.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $\sec (t)$ .

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Etapa 6.2.2.2.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (V)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 8.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{y}{x})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{y}{x})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ é $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5

Reescreva $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 8.3.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x^{2} + y^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.2

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.8

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

Etapa 8.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$