Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $12 y^{2} + 2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $2$ de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $12 y^{2} + 2$ por $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $12 y^{2} + 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $2$ de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.3.3

Fatore $2$ de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Etapa 1.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $6 y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Como $12$ é constante com relação a $y$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$