Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{5} - 5$ . Depois, $d u = 5 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{5} - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Etapa 4.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{1}{15}$ e $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Etapa 4.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $\frac{64}{15}$ aos dois lados da equação.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Etapa 4.3.3

Combine $5$ e $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique $5$ por $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Etapa 4.3.5.2

Some $75$ e $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Etapa 5

Substitua $\frac{139}{15}$ por $K$ em $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $\frac{139}{15}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use o teorema binomial.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $25$ por $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.2.6

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine $\frac{1}{15}$ e $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Fatore $15$ de $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $15$ de $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.3.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $5$ de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.4.2

Fatore $5$ de $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.4.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.4.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.4.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.3

Para escrever $- \frac{25}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{25}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Multiplique $- 25$ por $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Etapa 5.6.2

Some $- 125$ e $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$