Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 7$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 7 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{7 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{7 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{7 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Etapa 6.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

Etapa 6.5

Deixe $u = 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.5.1

Deixe $u = 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.5.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 6.5.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 6.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

Etapa 6.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.8.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

Etapa 6.10

Reescreva $11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ como $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

Etapa 6.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $e^{7 x}$ e $\frac{1}{49}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ por $e^{7 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ por $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{7 x}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Fatore $e^{7 x}$ de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1.1

Fatore $e^{7 x}$ de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.2

Fatore $e^{7 x}$ de $- \frac{e^{7 x}}{49}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.3

Fatore $e^{7 x}$ de $e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.3

Para escrever $\frac{x}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $49$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.4.1

Multiplique $\frac{x}{7}$ por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.4.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.6

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 7.2.3.1.1.7.1

Combine $\frac{7 x - 1}{49}$ e $11$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.7.2

Combine $\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ e $e^{7 x}$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.8

Mova $11$ para a esquerda de $7 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Combine.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{7 x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Multiplique $11$ por $1$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.2

Para escrever $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.3

Para escrever $\frac{C}{e^{7 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Etapa 7.2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $49 e^{7 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.4.1

Multiplique $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ por $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Etapa 7.2.3.4.2

Multiplique $\frac{C}{e^{7 x}}$ por $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

Etapa 7.2.3.4.3

Reordene os fatores de $e^{7 x} \cdot 49$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.6.2

Multiplique $7$ por $11$ .

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.6.3

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Etapa 7.2.3.6.5

Mova $49$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$