Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 4 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

Etapa 1.2

Integre $4 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{4} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{4}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6.2.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6.4

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 6.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 6.5

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 6.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 6.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.8

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 6.9

Simplifique.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Etapa 6.10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ por $e^{x^{4}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ por $e^{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{{(x^{2})}^{2}}$ e $e^{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{x^{4}}$ de $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Etapa 7.3.1.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$