Cálculo Exemplos

$(1 - x) d y + y d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $y d x$ dos dois lados da equação.

$(1 - x) d y = - y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1 - x$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 - x) y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $| 1 - x |$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | 1 - x |$ .

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | 1 - x | C$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | 1 - x |$