Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 y + \sin (y)$ .

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 y + \sin (y)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$